Inhalt
Eine (nicht notwendigerweise assoziative) $\mathbb{R}$-Algebra $A$ mit Einselement heißt reelle Divisionsalgebra, wenn jedes Element $a \neq 0$ in $A$ invertierbar ist. Beispiele für Divisionsalgebren sind $\mathbb{R}$ selbst, die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$, die Quaternionen $\mathbb{H}$ und die Cayley-Zahlen $\mathbb{O}$. In dieser Vorlesung soll der folgende Satz bewiesen werden: Hat $\mathbb{R}^n$ die Struktur einer reellen Divisionsalgebra, dann ist $n \in \{1,2,4,8\}$. Hieraus folgt, dass die oben gegebenen Beispiele tatsächlich die einzigen Divisionsalgebrenstrukturen auf $\mathbb{R}^n$ sind.
Trotz der rein algebraischen Natur des Satzes, fußt der Beweis, der 1960 von John Frank Adams gefunden wurde, auf Ergebnissen aus der algebraischen Topologie. Insbesondere benutzt er topologische K-Theorie, eine verallgemeinerte Kohomologietheorie, deren Elemente durch Vektorbündel über topologischen Räumen repräsentiert werden. Diese Theorie ist im Laufe der Zeit immer weiter verallgemeinert worden, z.B. zur K-Theorie von Ringen oder von Operatoralgebren und spielt eine fundamentale Rolle in der algebraischen Topologie. Im ersten Teil der Vorlesung werden wir daher Grundlagen über Vektorbündel wiederholen und K-Theorie ausführlich diskutieren.
Im zweiten - etwas kürzeren - Teil der Vorlesung werden wir dann die Hopf-Invariante besprechen. Hierbei handelt es sich um eine Homotopieinvariante, die jeder Abbildung $f \colon S^{2n-1} \to S^n$ eine ganze Zahl zuordnet. Sie wurde 1931 von Heinz Hopf benutzt, um zu zeigen, dass es Abbildungen $S^3 \to S^2$ gibt, die nicht nullhomotop sind und spielt eine entscheidende Rolle in Adams' Beweis. Mit dessen Diskussion soll diese Veranstaltung abgeschlossen werden.
Die Veranstaltung baut lediglich auf dem Stoff der Vorlesung Topologie 1 auf.
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Trotz der rein algebraischen Natur des Satzes, fußt der Beweis, der 1960 von John Frank Adams gefunden wurde, auf Ergebnissen aus der algebraischen Topologie. Insbesondere benutzt er topologische K-Theorie, eine verallgemeinerte Kohomologietheorie, deren Elemente durch Vektorbündel über topologischen Räumen repräsentiert werden. Diese Theorie ist im Laufe der Zeit immer weiter verallgemeinert worden, z.B. zur K-Theorie von Ringen oder von Operatoralgebren und spielt eine fundamentale Rolle in der algebraischen Topologie. Im ersten Teil der Vorlesung werden wir daher Grundlagen über Vektorbündel wiederholen und K-Theorie ausführlich diskutieren.
Im zweiten - etwas kürzeren - Teil der Vorlesung werden wir dann die Hopf-Invariante besprechen. Hierbei handelt es sich um eine Homotopieinvariante, die jeder Abbildung $f \colon S^{2n-1} \to S^n$ eine ganze Zahl zuordnet. Sie wurde 1931 von Heinz Hopf benutzt, um zu zeigen, dass es Abbildungen $S^3 \to S^2$ gibt, die nicht nullhomotop sind und spielt eine entscheidende Rolle in Adams' Beweis. Mit dessen Diskussion soll diese Veranstaltung abgeschlossen werden.
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Skript
Skript (von Jannes Bantje)
Übungen und Lösungen
Literatur
- Bratzler, C.; Lück, W.: Topologische K-Theorie, seminar notes in german
- Atiyah, M.: K-Theory, W.A. Benjamin Inc., 1967
- Bott, R.: Lectures on K(X), W.A. Benjamin Inc., 1962
- Hatcher, A.: Vector Bundles and K-Theory, book, Preprint, 2009
- Hatcher, A.: Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002
