Inhalt
Eine (nicht notwendigerweise assoziative) $\mathbb{R}$-Algebra $A$ mit Einselement heißt reelle Divisionsalgebra, wenn jedes Element $a \neq 0$ in $A$ invertierbar ist. Beispiele für Divisionsalgebren sind $\mathbb{R}$ selbst, die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$, die Quaternionen $\mathbb{H}$ und die Cayley-Zahlen $\mathbb{O}$. In dieser Vorlesung soll der folgende Satz bewiesen werden: Hat $\mathbb{R}^n$ die Struktur einer reellen Divisionsalgebra, dann ist $n \in \{1,2,4,8\}$. Hieraus folgt, dass die oben gegebenen Beispiele tatsächlich die einzigen Divisionsalgebrenstrukturen auf $\mathbb{R}^n$ sind.
Trotz der rein algebraischen Natur des Satzes, fußt der Beweis, der 1960 von John Frank Adams gefunden wurde, auf Ergebnissen aus der algebraischen Topologie. Insbesondere benutzt er topologische K-Theorie, eine verallgemeinerte Kohomologietheorie, deren Elemente durch Vektorbündel über topologischen Räumen repräsentiert werden. Diese Theorie ist im Laufe der Zeit immer weiter verallgemeinert worden, z.B. zur K-Theorie von Ringen oder von Operatoralgebren und spielt eine fundamentale Rolle in der algebraischen Topologie. Im ersten Teil der Vorlesung werden wir daher Grundlagen über Vektorbündel wiederholen und K-Theorie ausführlich diskutieren.
Im zweiten - etwas kürzeren - Teil der Vorlesung werden wir dann die Hopf-Invariante besprechen. Hierbei handelt es sich um eine Homotopieinvariante, die jeder Abbildung $f \colon S^{2n-1} \to S^n$ eine ganze Zahl zuordnet. Sie wurde 1931 von Heinz Hopf benutzt, um zu zeigen, dass es Abbildungen $S^3 \to S^2$ gibt, die nicht nullhomotop sind und spielt eine entscheidende Rolle in Adams' Beweis. Mit dessen Diskussion soll diese Veranstaltung abgeschlossen werden.
Die Veranstaltung baut lediglich auf dem Stoff der Vorlesung Topologie 1 auf.
Bitte hier klicken für die englische Version der Seite.
Trotz der rein algebraischen Natur des Satzes, fußt der Beweis, der 1960 von John Frank Adams gefunden wurde, auf Ergebnissen aus der algebraischen Topologie. Insbesondere benutzt er topologische K-Theorie, eine verallgemeinerte Kohomologietheorie, deren Elemente durch Vektorbündel über topologischen Räumen repräsentiert werden. Diese Theorie ist im Laufe der Zeit immer weiter verallgemeinert worden, z.B. zur K-Theorie von Ringen oder von Operatoralgebren und spielt eine fundamentale Rolle in der algebraischen Topologie. Im ersten Teil der Vorlesung werden wir daher Grundlagen über Vektorbündel wiederholen und K-Theorie ausführlich diskutieren.
Im zweiten - etwas kürzeren - Teil der Vorlesung werden wir dann die Hopf-Invariante besprechen. Hierbei handelt es sich um eine Homotopieinvariante, die jeder Abbildung $f \colon S^{2n-1} \to S^n$ eine ganze Zahl zuordnet. Sie wurde 1931 von Heinz Hopf benutzt, um zu zeigen, dass es Abbildungen $S^3 \to S^2$ gibt, die nicht nullhomotop sind und spielt eine entscheidende Rolle in Adams' Beweis. Mit dessen Diskussion soll diese Veranstaltung abgeschlossen werden.
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Skript
Skript (von Jannes Bantje)
Übungen und Lösungen
Literatur
- Bratzler, C.; Lück, W.: Topologische K-Theorie, seminar notes in german
- Atiyah, M.: K-Theory, W.A. Benjamin Inc., 1967
- Bott, R.: Lectures on K(X), W.A. Benjamin Inc., 1962
- Hatcher, A.: Vector Bundles and K-Theory, book, Preprint, 2009
- Hatcher, A.: Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002